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相似矩阵矩阵的对角化对称矩阵的对角化对称阵A对角化的步骤
相似矩阵
设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使
P
−
1
A
P
=
B
,
P^{-1}AP=B,
P−1AP=B,则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似，对A进行运算
P
−
1
A
P
P^{-1}AP
P−1AP称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。定理：若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同。 证明：|B-λE| = |P-1AP-P-1(λE)P| = |P-1(A-λE)P| = |P-1| |(A-λE)| |P| = |(A-λE)|推论：若n阶矩阵A与对角阵
Λ
=
[
λ
1
λ
2
⋱
λ
n
]
\Lambda=\begin{bmatrix} \lambda _1 & & & \\ & \lambda _2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda _n \end{bmatrix}
Λ=⎣⎢⎢⎡λ1λ2⋱λn⎦⎥⎥⎤相似，则λ1，λ2，…，λn即是A的n个特征值。 证明：因为λ1，λ2，…，λn是Λ的n个特征值，由上述定理知λ1，λ2，…，λn也是A的n个特征值。设A为n阶矩阵，则必有可逆阵P，使P-1AP = B，其中B是上三角矩阵。
矩阵的对角化
对n阶矩阵A，寻求相似变换矩阵P，使P-1AP = Λ为对角阵，这就称为把矩阵A对角化。假设已经找到可逆矩阵P，使P-1AP = Λ为对角阵，P应满足以下关系： 把P用其列向量表示为P=(p1，p2，…，pn，)，由P-1AP = Λ，得AP = PΛ，即
A
(
p
1
,
p
2
,
⋯
,
p
n
)
=
(
p
1
,
p
2
,
⋯
,
p
n
)
[
λ
1
λ
2
⋱
λ
n
]
=
(
λ
1
p
1
,
λ
2
p
2
,
⋯
,
λ
n
p
n
)
,
A(p_1,p_2,\cdots,p_n)=(p_1,p_2,\cdots,p_n)\begin{bmatrix} \lambda _1 & & & \\ & \lambda _2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda _n \end{bmatrix}=(\lambda _1p_1,\lambda _2p_2,\cdots,\lambda _np_n),
A(p1,p2,⋯,pn)=(p1,p2,⋯,pn)⎣⎢⎢⎡λ1λ2⋱λn⎦⎥⎥⎤=(λ1p1,λ2p2,⋯,λnpn),于是有
A
p
i
=
λ
i
p
i
Ap_i=\lambda _ip_i
Api=λipi可见λi是A的特征值，而P的列向量pi就是A的对应于特征值λi的特征向量。定理1：n阶矩阵A与对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。推论：如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似。求矩阵A的100次幂：求出A的特征值；求出正交矩阵P；由P-1AP = Λ得A = PΛP-1，故A100 = PΛ100P-1。
对称矩阵的对角化
定理1：对称阵的特征值为实数定理2：设λ1，λ2是对称阵A的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量，若λ1≠λ2，则p1，p2正交。 证明：λ1p1=Ap1，λ2p2=Ap2，λ1≠λ2。因A对称，故
λ
1
p
1
T
=
(
λ
1
p
1
)
T
=
(
A
p
1
)
T
=
p
1
T
A
T
=
P
1
T
A
\lambda _1p_1^T=(\lambda _1p_1)^T=(Ap_1)^T=p_1^TA^T=P_1^TA
λ1p1T=(λ1p1)T=(Ap1)T=p1TAT=P1TA，于是
λ
1
p
1
T
p
2
=
P
1
T
A
P
2
=
p
1
T
(
λ
2
p
2
)
=
λ
2
p
1
T
p
2
\lambda _1p_1^Tp_2=P_1^TAP_2=p_1^T(\lambda _2p_2)=\lambda _2p_1^Tp_2
λ1p1Tp2=P1TAP2=p1T(λ2p2)=λ2p1Tp2，但λ1≠λ2，故
p
1
T
p
2
=
0
p_1^Tp_2=0
p1Tp2=0，即p1与p2正交。定理3：设A为n阶对称阵，则必有正交阵P，使P-1AP = PTAP = Λ，其中Λ是以A的n个特征值为对角元的对角阵。 证明：因为任意矩阵都与上三角矩阵相似，设A = P-1BP，B为上三角矩阵，AT = PTBT(P-1)T，因为A为对称阵，即AT=A，所以PTBT(P-1)T = P-1BP，因为P为正交阵，即P-1 = PT，所以BT = B，即B为对称阵，因为B是上三角矩阵，所以B是对角阵。推论：设A为n阶对称阵，λ是A的特征方程的k重根，则矩阵A-λE的秩R(A-λE) = n-k，从而对应特征值λ恰有k个线性无关的特征向量。 证明：对称阵A与对角阵Λ=diag(λ1，λ2，…，λn)相似，从而A-λE与Λ-λE=diag(λ1-λ，λ2-λ，…，λn-λ)相似。当λ是A的k重特征根时，λ1，λ2，…，λn这n个特征值中有k个等于λ，从而对角阵Λ-λE的对角元恰有k个等于0，于是R(Λ-λE) = R(A-λE) = n-k。
对称阵A对角化的步骤
求出A的全部互不相等的特征值λ1，λ2，…，λs，它们的重数依次为k1，k2，…，ks(k1+k2+…+ks=n)。对每个ki重特征值λi，求方程(A-λiE)x=0的基础解系，得ki个线性无关的特征向量。再把它们正交化、单位化，得ki个两两正交的单位特征向量。因k1+k2+…+ks=n，故总共可得n个两两正交的单位特征向量。把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P，便有P-1AP = PTAP = Λ。注意Λ中对角元的排列次序应与P中列向量的排列次序相对应。
【例】设
A
=
[
0
−
1
1
−
1
0
1
1
1
0
]
A=\begin{bmatrix} 0 & -1 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
A=⎣⎡0−11−101110⎦⎤，求一个正交阵P，使P-1AP = Λ为对角阵。 解：
由
∣
A
−
λ
E
∣
=
∣
−
λ
−
1
1
−
1
−
λ
1
1
1
−
λ
∣
=
r
1
−
r
2
∣
1
−
λ
λ
−
1
0
−
1
−
λ
1
1
1
−
λ
∣
=
c
2
+
c
1
∣
1
−
λ
0
0
−
1
−
1
−
λ
1
1
2
−
λ
∣
=
(
1
−
λ
)
(
λ
2
+
λ
−
2
)
=
−
(
λ
−
1
)
2
(
λ
+
2
)
,
\left | A-\lambda E \right |=\begin{vmatrix} -\lambda & -1 & 1\\ -1 & -\lambda & 1\\ 1 & 1 & -\lambda \end{vmatrix}\xlongequal{r_1-r_2}\begin{vmatrix} 1-\lambda & \lambda -1 & 0\\ -1 & -\lambda & 1\\ 1 & 1 & -\lambda \end{vmatrix}\xlongequal{c_2+c_1}\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0\\ -1 & -1-\lambda & 1\\ 1 & 2 & -\lambda \end{vmatrix} \\=(1-\lambda)(\lambda ^2+\lambda-2)=-(\lambda -1)^2(\lambda +2),
∣A−λE∣=∣∣∣∣∣∣−λ−11−1−λ111−λ∣∣∣∣∣∣r1−r2
∣∣∣∣∣∣1−λ−11λ−1−λ101−λ∣∣∣∣∣∣c2+c1
∣∣∣∣∣∣1−λ−110−1−λ201−λ∣∣∣∣∣∣=(1−λ)(λ2+λ−2)=−(λ−1)2(λ+2),求得A的特征值为λ1 = -2，λ2 = λ3 = 1.对应λ1 = -2，解方程(A + 2E)x = 0，由
A
+
2
E
=
[
2
−
1
1
−
1
2
1
1
1
2
]
∼
r
[
1
0
1
0
1
1
0
0
0
]
,
A+2E=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 1\\ -1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}\overset{r}\sim \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},
A+2E=⎣⎡2−11−121112⎦⎤∼r⎣⎡100010110⎦⎤,令x3=1，得基础解系
ξ
1
=
[
−
1
−
1
1
]
\xi _1=\begin{bmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix}
ξ1=⎣⎡−1−11⎦⎤，将ξ1单位化，得
p
1
=
1
3
[
−
1
−
1
1
]
p_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{bmatrix} -1\\ -1\\ 1 \end{bmatrix}
p1=3
1⎣⎡−1−11⎦⎤。对应λ2 = λ3 = 1，解方程(A - E)x = 0，由
A
−
E
=
[
−
1
−
1
1
−
1
−
1
1
1
1
−
1
]
∼
r
[
1
1
−
1
0
0
0
0
0
0
]
,
A-E=\begin{bmatrix} -1 & -1 & 1\\ -1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}\overset{r}\sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix},
A−E=⎣⎡−1−11−1−1111−1⎦⎤∼r⎣⎡100100−100⎦⎤,令x2=1，x3=0得基础解系
ξ
2
=
[
−
1
1
0
]
\xi _2=\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}
ξ2=⎣⎡−110⎦⎤， 令x2=0，x3=1得基础解系
ξ
3
=
[
1
0
1
]
\xi _3=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}
ξ3=⎣⎡101⎦⎤。将ξ2，ξ3正交化： 取
η
2
=
ξ
2
\eta _2=\xi _2
η2=ξ2，
η
3
=
ξ
3
−
[
η
2
,
ξ
3
]
∥
η
2
∥
2
η
2
=
[
1
0
1
]
+
1
2
[
−
1
1
0
]
=
1
2
[
1
1
2
]
\eta _3=\xi _3-\frac{\left [ \eta _2,\xi _3 \right ]}{\left \| \eta _2 \right \|^2}\eta _2=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}+\frac{1}{2}\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}
η3=ξ3−∥η2∥2[η2,ξ3]η2=⎣⎡101⎦⎤+21⎣⎡−110⎦⎤=21⎣⎡112⎦⎤将η2，η3单位化，得
p
2
=
1
2
[
−
1
1
0
]
,
p
3
=
1
6
[
1
1
2
]
p_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix},p_3=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 2 \end{bmatrix}
p2=2
1⎣⎡−110⎦⎤,p3=6
1⎣⎡112⎦⎤。将p1，p2，p3构成正交矩阵
P
=
(
p
1
,
p
2
,
p
3
)
=
[
−
1
3
−
1
2
1
6
−
1
3
1
2
1
6
1
3
0
2
6
]
P=(p_1,p_2,p_3)=\begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{bmatrix}
P=(p1,p2,p3)=⎣⎢⎡−3
1−3
13
1−2
12
106
16
16
2⎦⎥⎤有
P
−
1
A
P
=
P
T
A
P
=
Λ
=
[
−
2
0
0
0
1
0
0
0
1
]
P^{-1}AP=P^{T}AP=\Lambda =\begin{bmatrix} -2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 &0 & 1 \end{bmatrix}
P−1AP=PTAP=Λ=⎣⎡−200010001⎦⎤